Строк (столбцов). Несколько строк (столбцов) называются линейно независимыми, если ни одна из них не выражается линейно через другие. Ранг системы строк всегда равен рангу системы столбцов, и это число называется рангом матрицы.
Ранг матрицы - наивысший из порядков всевозможных ненулевых миноров этой матрицы. Ранг нулевой матрицы любого размера ноль. Если все миноры второго порядка равны нулю, то ранг равен единице, и т.д.
Ранг матрицы - размерность образа dim (im (A)) {\displaystyle \dim(\operatorname {im} (A))} линейного оператора , которому соответствует матрица.
Обычно ранг матрицы A {\displaystyle A} обозначается rang A {\displaystyle \operatorname {rang} A} , r A {\displaystyle \operatorname {r} A} , rg A {\displaystyle \operatorname {rg} A} или rank A {\displaystyle \operatorname {rank} A} . Последний вариант свойственен для английского языка, в то время как первые два - для немецкого, французского и ряда других языков.
Энциклопедичный YouTube
-
1 / 5
Пусть - прямоугольная матрица.
Тогда по определению рангом матрицы A {\displaystyle A} является:
Теорема (о корректности определения рангов). Пусть все миноры матрицы A m × n {\displaystyle A_{m\times n}} порядка k {\displaystyle k} равны нулю ( M k = 0 {\displaystyle M_{k}=0} ). Тогда ∀ M k + 1 = 0 {\displaystyle \forall M_{k+1}=0} , если они существуют.
Связанные определения
Свойства
- Теорема (о базисном миноре): Пусть r = rang A , M r {\displaystyle r=\operatorname {rang} A,M_{r}} - базисный минор матрицы A {\displaystyle A} , тогда:
- Следствия:
- Теорема (об инвариантности ранга при элементарных преобразованиях): Введём обозначение для матриц, полученных друг из друга элементарными преобразованиями . Тогда справедливо утверждение: Если A ∼ B {\displaystyle A\sim B} , то их ранги равны.
- Теорема Кронекера - Капелли :
Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы. В частности:
- Количество главных переменных системы равно рангу системы.
- Совместная система будет определена (её решение единственно), если ранг системы равен числу всех её переменных.
- Неравенство Сильвестра : Если A и B матрицы размеров m x n и n x k , то
Это частный случай следующего неравенства.
- Неравенство Фробениуса : Если AB, BC, ABC корректно определены, то
Линейное преобразование и ранг матрицы
Пусть A {\displaystyle A} - матрица размера m × n {\displaystyle m\times n} над полем C {\displaystyle C} (или R {\displaystyle R} ). Пусть T {\displaystyle T} - линейное преобразование, соответствующее A {\displaystyle A} в стандартном базисе; это значит, что T (x) = A x {\displaystyle T(x)=Ax} . Ранг матрицы A {\displaystyle A} - это размерность области значений преобразования T {\displaystyle T} .
Методы
Существует несколько методов нахождения ранга матрицы:
- Метод элементарных преобразований
- Метод окаймляющих миноров
Рангом матрицы называется наибольший порядок ее миноров, отличных от нуля. Ранг матрицы обозначают или .
Если все миноры порядка данной матрицы равны нулю, то все миноры более высокого порядка данной матрицы также равны нулю. Это следует из определения определителя. Отсюда вытекает алгоритм нахождения ранга матрицы.
Если все миноры первого порядка (элементы матрицы ) равны нулю, то . Если хотя бы один из миноров первого порядка отличен от нуля, а все миноры второго порядка равны нулю, то . Причем, достаточно просмотреть только те миноры второго порядка, которые окаймляют ненулевой минор первого порядка. Если найдется минор второго порядка отличный от нуля, исследуют миноры третьего порядка, окаймляющие ненулевой минор второго порядка. Так продолжают до тех пор, пока не придут к одному из двух случаев: либо все миноры порядка , окаймляющие ненулевой минор -го порядка равны нулю, либо таких миноров нет. Тогда .
Пример 10. Вычислить ранг матрицы .
Минор первого порядка (элемент ) отличен от нуля. Окаймляющий его минор тоже не равен нулю.
Все эти миноры равны нулю, значит .
Приведенный алгоритм нахождения ранга матрицы не всегда удобен, поскольку связан с вычислением большого числа определителей. Наиболее удобно пользоваться при вычислении ранга матрицы элементарными преобразованиями, при помощи которых матрица приводится к столь простому виду, что очевидно, чему равен ее ранг.
Элементарными преобразованиями матрицы называют следующие преобразования:
Ø умножение какой-нибудь строки (столбца) матрица на число, отличное от нуля;
Ø прибавление к одной строке (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на произвольное число.
Полужордановым преобразованием строк матрицы:
с разрешающим элементом называется следующая совокупность преобразований со строками матрицы:
Ø к первой строке прибавить ю, умноженную на число и т.д.;
Ø к последней строке прибавить ю, умноженную на число .
Полужордановым преобразованием столбцов матрицы с разрешающим элементом называется следующая совокупность преобразований со столбцами матрицы:
Ø к первму столбцу прибавить й, умноженный на число и т.д.;
Ø к последнему столбцу прибавить й, умноженный на число .
После выполнения этих преобразований получается матрица:
Полужорданово преобразование строк или столбцов квадратной матрицы не изменяет ее определителя.
Элементарные преобразования матрицы не изменяют ее ранга. Покажем на пример, как вычислить ранг матрицы, пользуясь элементарными преобразованиями. строк (столбцов) линейно зависимы.
А также рассмотрим важное практическое приложение темы: исследование системы линейных уравнений на совместность .
Что такое ранг матрицы?
В юмористическом эпиграфе статьи содержится большая доля истины. Само слово «ранг» у нас обычно ассоциируется с некоторой иерархией, чаще всего, со служебной лестницей. Чем больше у человека знаний, опыта, способностей, блата и т.д. – тем выше его должность и спектр возможностей. Выражаясь по молодёжному, под рангом подразумевают общую степень «крутизны».
И братья наши математические живут по тем же принципам. Выведем на прогулку несколько произвольных нулевых матриц :
Задумаемся, если в матрице одни нули , то о каком ранге может идти речь? Всем знакомо неформальное выражение «полный ноль». В обществе матриц всё точно так же:
Ранг нулевой матрицы любых размеров равен нулю .
Примечание : нулевая матрица обозначается греческой буквой «тета»
В целях лучшего понимания ранга матрицы здесь и далее я буду привлекать на помощь материалы аналитической геометрии . Рассмотрим нулевой вектор нашего трёхмерного пространства, который не задаёт определённого направления и бесполезен для построения аффинного базиса . С алгебраической точки зрения координаты данного вектора записаны в матрицу «один на три» и логично (в указанном геометрическом смысле) считать, что ранг этой матрицы равен нулю.
Теперь рассмотрим несколько ненулевых векторов-столбцов и векторов-строк :
В каждом экземпляре есть хотя бы один ненулевой элемент, и это уже кое-что!Ранг любого ненулевого вектора-строки (вектора-столбца) равен единице
И вообще – если в матрице произвольных размеров есть хотя бы один ненулевой элемент, то её ранг не меньше единицы .
Алгебраические векторы-строки и векторы-столбцы в известной степени абстрактны, поэтому снова обратимся к геометрической ассоциации. Ненулевой вектор задаёт вполне определённое направление в пространстве и годится для построения базиса , поэтому ранг матрицы будем считать равным единице.
Теоретическая справка : в линейной алгебре вектор – это элемент векторного пространства (определяемое через 8 аксиом), который, в частности, может представлять собой упорядоченную строку (или столбец) действительных чисел с определёнными для них операциями сложения и умножения на действительное число. С более подробной информацией о векторах можно ознакомиться в статье Линейные преобразования .
линейно зависимы (выражаются друг через друга). С геометрической точки зрения во вторую строку записаны координаты коллинеарного вектора
, который ничуть не продвинул дело в построении трёхмерного базиса
, являясь в этом смысле лишним. Таким образом, ранг данной матрицы тоже равен единице.Перепишем координаты векторов в столбцы (транспонируем матрицу ):
Что изменилось с точки зрения ранга? Ничего. Столбцы пропорциональны, значит, ранг равен единице. Кстати, обратите внимание, что все три строки тоже пропорциональны. Их можно отождествить с координатами трёх коллинеарных векторов плоскости, из которых только один полезен для построения «плоского» базиса. И это полностью согласуется с нашим геометрическим смыслом ранга.
Из вышеприведённого примера следует важное утверждение:
Ранг матрицы по строкам равен рангу матрицы по столбцам . Об этом я уже немного упоминал на уроке об эффективных методах вычисления определителя .
Примечание : из линейной зависимости строк следует линейная зависимость столбцов (и наоборот). Но в целях экономии времени, да и в силу привычки я почти всегда буду говорить о линейной зависимости строк.
Продолжим дрессировать нашего любимого питомца. Добавим в матрицу третьей строкой координаты ещё одного коллинеарного вектора
:
Помог ли он нам в построении трёхмерного базиса? Конечно, нет. Все три вектора гуляют туда-сюда по одной дорожке, и ранг матрицы равен единице. Можно взять сколько угодно коллинеарных векторов, скажем, 100, уложить их координаты в матрицу «сто на три» и ранг такого небоскрёба всё равно останется единичным.
Познакомимся с матрицей , строки которой линейно независимы . Пара неколлинеарных векторов пригодна для построения трёхмерного базиса. Ранг этой матрицы равен двум.
А чему равен ранг матрицы ? Строки вроде не пропорциональны…, значит, по идее трём. Однако ранг этой матрицы тоже равен двум. Я сложил первые две строки и записал результат внизу, то есть линейно выразил третью строку через первые две. Геометрически строки матрицы соответствуют координатам трёх компланарных векторов , причём среди этой тройки существует пара неколлинеарных товарищей.
Как видите, линейная зависимость в рассмотренной матрице не очевидна, и сегодня мы как раз научимся выводить её «на чистую воду».
Думаю, многие догадываются, что такое ранг матрицы!
Рассмотрим матрицу , строки которой линейно независимы . Векторы образуют аффинный базис , и ранг данной матрицы равняется трём.
Как вы знаете, любой четвёртый, пятый, десятый вектор трёхмерного пространства будет линейно выражаться через базисные векторы. Поэтому, если в матрицу добавить любое количество строк, то её ранг всё равно будет равен трём .
Аналогичные рассуждения можно провести для матриц бОльших размеров (понятно, уже без геометрического смысла).
Определение : ранг матрицы – это максимальное количество линейно независимых строк . Или: ранг матрицы – это максимальное количество линейно независимых столбцов . Да, их количество всегда совпадает.
Из вышесказанного также следует важный практический ориентир: ранг матрицы не превосходит её минимальной размерности . Например, в матрице
четыре строки и пять столбцов. Минимальная размерность – четыре, следовательно, ранг данной матрицы заведомо не превзойдёт 4.Обозначения : в мировой теории и практике не существует общепринятого стандарта для обозначения ранга матрицы, наиболее часто можно встретить: – как говорится, англичанин пишет одно, немец другое. Поэтому давайте по мотивам известного анекдота про американский и русский ад обозначать ранг матрицы родным словом. Например: . А если матрица «безымянная», коих встречается очень много, то можно просто записать .
Как найти ранг матрицы с помощью миноров?
Если бы у бабушки нас в матрице был пятый столбец, то следовало бы вычислить ещё один минор 4-го порядка («синие», «малиновый» + 5-й столбец).
Вывод : максимальный порядок ненулевого минора равен трём, значит, .
Возможно, не все до конца осмыслили данную фразу: минор 4-го порядка равен нулю, но среди миноров 3-го порядка нашёлся ненулевой – поэтому максимальный порядок ненулевого минора и равен трём.
Возникает вопрос, а почему бы сразу не вычислить определитель? Ну, во-первых, в большинстве заданий матрица не квадратная, а во-вторых, даже если у вас и получится ненулевое значение, то задание с высокой вероятностью забракуют, так как оно обычно подразумевает стандартное решение «снизу вверх». А в рассмотренном примере нулевой определитель 4-го порядка и вовсе позволяет утверждать, что ранг матрицы лишь меньше четырёх.
Должен признаться, разобранную задачу я придумал сам, чтобы качественнее объяснить метод окаймляющих миноров. В реальной практике всё проще:
Пример 2
Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров
Решение и ответ в конце урока.
Когда алгоритм работает быстрее всего? Вернёмся к той же матрице «четыре на четыре»
. Очевидно, решение будет самым коротким в случае «хороших» угловых миноров
:
И, если , то , в противном случае – .
Размышление совсем не гипотетично – существует немало примеров, где всё дело и ограничивается только угловыми минорами.
Однако в ряде случаев более эффективен и предпочтителен другой способ:
Как найти ранг матрицы с помощью метода Гаусса?
Параграф рассчитан на читателей, которые уже знакомы с методом Гаусса и мало-мальски набили на нём руку.
С технической точки зрения метод не отличается новизной:
1) с помощью элементарных преобразований приводим матрицу к ступенчатому виду;
2) ранг матрицы равен количеству строк.
Совершенно понятно, что использование метода Гаусса не меняет ранга матрицы , и суть здесь предельно проста: согласно алгоритму, в ходе элементарных преобразований выявляются и удаляются все лишние пропорциональные (линейно зависимые) строки, в результате чего остаётся «сухой остаток» – максимальное количество линейно независимых строк.
Преобразуем старую знакомую матрицу с координатами трёх коллинеарных векторов:
(1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2. К третьей строке прибавили первую строку.
(2) Нулевые строки удаляем.
Таким образом, осталась одна строка, следовательно, . Что и говорить, это гораздо быстрее, чем рассчитать девять нулевых миноров 2-го порядка и только потом сделать вывод.
Напоминаю, что в самой по себе алгебраической матрице ничего менять нельзя, и преобразования выполняются только с целью выяснения ранга! Кстати, остановимся ещё раз на вопросе, почему нельзя? Исходная матрица
несёт информацию, которая принципиально отлична от информации матрицы и строки . В некоторых математических моделях (без преувеличения) разница в одном числе может быть вопросом жизни и смерти. …Вспомнились школьные учителя математики начальных и средних классов, которые безжалостно срезали оценку на 1-2 балла за малейшую неточность или отклонение от алгоритма. И было жутко обидно, когда вместо, казалось бы, гарантированной «пятёрки» получалось «хорошо» или того хуже. Понимание пришло намного позже – а как иначе доверить человеку спутники, ядерные боеголовки и электростанции? Но вы не беспокойтесь, я не работаю в этих сферах =)Перейдём к более содержательным заданиям, где помимо прочего познакомимся с важными вычислительными приёмами метода Гаусса :
Пример 3
Найти ранг матрицы с помощью элементарных преобразований
Решение : дана матрица «четыре на пять», значит, её ранг заведомо не больше, чем 4.
В первом столбце, отсутствует 1 или –1, следовательно, необходимы дополнительные действия, направленные на получение хотя бы одной единицы. За всё время существования сайта мне неоднократно задавали вопрос: «Можно ли в ходе элементарных преобразований переставлять столбцы?». Вот здесь – переставили первый-второй столбец, и всё отлично! В большинстве задач, где используется метод Гаусса , столбцы действительно переставлять можно. НО НЕ НУЖНО. И дело даже не в возможной путанице с переменными, дело в том, что в классическом курсе обучения высшей математике данное действие традиционно не рассматривается, поэтому на такой реверанс посмотрят ОЧЕНЬ криво (а то и заставят всё переделывать).
Второй момент касается чисел. В ходе решения полезно руководствоваться следующим эмпирическим правилом: элементарные преобразования по возможности должны уменьшать числа матрицы . Ведь с единицей-двойкой-тройкой работать значительно легче, чем, например, с 23, 45 и 97. И первое действие направлено не только на получение единицы в первом столбце, но и на ликвидацию чисел 7 и 11.
Сначала полное решение, потом комментарии:
(1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на –3. И до кучи: к 4-й строке прибавили 1-ю строку, умноженную на –1.
(2) Последние три строки пропорциональны. Удалили 3-ю и 4-ю строки, вторую строку переместили на первое место.
(3) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –3.
В приведённой к ступенчатому виду матрице две строки.
Ответ :
Теперь ваша очередь мучить матрицу «четыре на четыре»:
Пример 4
Найти ранг матрицы методом Гаусса
Напоминаю, что метод Гаусса не предполагает однозначной жёсткости, и ваше решение, скорее всего, будет отличаться от моего решения. Краткий образец оформления задачи в конце урока.
Какой метод использовать для нахождения ранга матрицы?
На практике зачастую вообще не сказано, какой метод необходимо использовать для нахождения ранга. В такой ситуации следует анализировать условие – для одних матриц рациональнее провести решение через миноры, а для других значительно выгоднее применить элементарные преобразования:
Пример 5
Найти ранг матрицы
Решение : первый способ как-то сразу отпадает =)
Чуть выше я советовал не трогать столбцы матрицы, но когда есть нулевой столбец, либо пропорциональные/совпадающие столбцы, то всё же стОит провести ампутацию:
(1) Пятый столбец нулевой, удалим его из матрицы. Таким образом, ранг матрицы не больше четырёх. Первую строку умножили на –1. Это ещё одна фирменная фишка метода Гаусса, превращающая следующее действие в приятную прогулку:
(2) Ко всем строкам, начиная со второй, прибавили первую строку.
(3) Первую строку умножили на –1, третью строку разделили на 2, четвёртую строку разделили на 3. К пятой строке прибавили вторую строку, умноженную на –1.
(4) К пятой строке прибавили третью строку, умноженную на –2.
(5) Последние две строки пропорциональны, пятую удаляем.
В результате получено 4 строки.
Ответ :
Стандартная пятиэтажка для самостоятельного исследования:
Пример 6
Найти ранг матрицы
Краткое решение и ответ в конце урока.
Следует отметить, что словосочетание «ранг матрицы» не так часто встретишь на практике, и в большинстве задач можно вообще обойтись без него. Но существует одно задание, где рассматриваемое понятие является главным действующим лицом, и в заключение статьи мы рассмотрим это практическое приложение:
Как исследовать систему линейных уравнений на совместность?
Нередко помимо решения системы линейных уравнений по условию предварительно требуется исследовать её на совместность, то есть доказать, что какое-либо решение вообще существует. Ключевую роль в такой проверке играет теорема Кронекера-Капелли , которую я сформулирую в необходимом виде:
Если ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы , то система совместна, причём, если данное число совпадает с количеством неизвестных, то решение единственно.
Таким образом, для исследования системы на совместность нужно проверить равенство
, где – матрица системы
(вспоминаем терминологию из урока Метод Гаусса
), а – расширенная матрица системы
(т.е. матрица с коэффициентами при переменных + столбец свободных членов).Элементарными называются следующие преобразования матрицы:
1) перестановка двух любых строк (или столбцов),
2) умножение строки (или столбца) на отличное от нуля число,
3) прибавление к одной строке (или столбцу) другой строки (или столбца), умноженной на некоторое число.
Две матрицы называются эквивалентными , если одна из них получается из другой с помощью конечного множества элементарных преобразований.
Эквивалентные матрицы не являются, вообще говоря, равными, но их ранги равны. Если матрицы А и В эквивалентны, то это записывается так: A ~ B.
Канонической матрицей называется матрица, у которой в начале главной диагонали стоят подряд несколько единиц (число которых может равняться нулю), а все остальные элементы равны нулю, например,
При помощи элементарных преобразований строк и столбцов любую матрицу можно привести к канонической. Ранг канонической матрицы равен числу единиц на ее главной диагонали.
Пример 2 Найти ранг матрицы
А=
и привести ее к каноническому виду.
Решение. Из второй строки вычтем первую и переставим эти строки:
.Теперь из второй и третьей строк вычтем первую, умноженную соответственно на 2 и 5:
;из третьей строки вычтем первую; получим матрицу
В =
,которая эквивалентна матрице А, так как получена из нее с помощью конечного множества элементарных преобразований. Очевидно, что ранг матрицы В равен 2, а следовательно, и r(A)=2. Матрицу В легко привести к канонической. Вычитая первый столбец, умноженный на подходящие числа, из всех последующих, обратим в нуль все элементы первой строки, кроме первого, причем элементы остальных строк не изменяются. Затем, вычитая второй столбец, умноженный на подходящие числа, из всех последующих, обратим в нуль все элементы второй строки, кроме второго, и получим каноническую матрицу:
.Теоре́ма Кро́некера - Капе́лли - критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений:
Для того чтобы линейная система являлась совместной, необходимо и достаточно, что бы ранг расширенной матрицы этой системы был равен рангу ее основной матрицы.
Доказательство (условия совместности системы)
Необходимость
Пусть система совместна. Тогда существуют числа такие, что . Следовательно, столбец является линейной комбинацией столбцов матрицы . Из того, что ранг матрицы не изменится, если из системы его строк (столбцов) вычеркнуть или приписать строку (столбец), которая является линейной комбинацией других строк (столбцов) следует, что .
Достаточность
Пусть . Возьмем в матрице какой-нибудь базисный минор. Так как , то он же и будет базисным минором и матрицы . Тогда, согласно теореме о базисном миноре , последний столбец матрицы будет линейной комбинацией базисных столбцов, то есть столбцов матрицы . Следовательно, столбец свободных членов системы является линейной комбинацией столбцов матрицы .
Следствия
Количество главных переменных системы равно рангу системы.
Совместная система будет определена (её решение единственно), если ранг системы равен числу всех её переменных.
Однородная система уравнений
Предложение 15 . 2 Однородная система уравнений
всегда является совместной.
Доказательство . Для этой системы набор чисел , , , является решением.
В этом разделе мы будем использовать матричную запись системы: .
Предложение 15 . 3 Сумма решений однородной системы линейных уравнений является решением этой системы. Решение, умноженное на число, тоже является решением.
Доказательство . Пусть и служат решениями системы . Тогда и . Пусть . Тогда
Так как , то -- решение.
Пусть -- произвольное число, . Тогда
Так как , то -- решение.
Следствие 15 . 1 Если однородная система линейных уравнений имеет ненулевое решение, то она имеет бесконечно много различных решений.
Действительно, умножая ненулевое решение на различные числа, будем получать различные решения.
Определение 15 . 5 Будем говорить, что решения
системы образуют фундаментальную
систему решений
,
если столбцы 
образуют
линейно независимую систему и любое
решение системы является линейной
комбинацией этих столбцов.Определение 15 . 6 Пусть
--
фундаментальная система решений
однородной системы .
Тогда выражениегде
--
произвольные числа, будем называть общим
решением
системы .Из определения фундаментальной системы решений следует, что любое решение однородной системы может быть получено из общего решения при некоторых значениях
.
И наоборот, при любых фиксированных
числовых значениях 
из
общего решения получим решение однородной
системы.Как находить фундаментальную систему решений мы увидим позже, в разделе "Алгоритм нахождения решений произвольной системы линейных уравнений (метод Гаусса)" .
Теорема 15 . 3 Пусть
--
фундаментальная система решений
однородной системы
.
Тогда
,
где
--
число неизвестных в системе.
Теорема (о линейном решении однородных систем). Пусть - решения однородной системы (1), - произвольные константы. Тогда также является решением рассматриваемой системы.
Под элементарными преобразованиями строк (столбцов) матрицы понимают следующие действия:
- Перемена мест двух строк (столбцов).
- Умножение всех элементов строки (столбца) на некоторое число $a\neq 0$.
- Суммирование всех элементов одной строки (столбца) с соответствующими элементами иной строки (столбца), умноженными на некое действительное число.
Если применить к строкам или столбцам матрицы $A$ некое элементарное преобразование, то получим новую матрицу $B$. В этом случае $\rang{A}=\rang{B}$, т.е. элементарные преобразования не изменяют ранг матрицы.
Если $\rang A=\rang B$, то матрицы $A$ и $B$ называются эквивалентными . Тот факт, что матрица $A$ эквивалентна матрице $B$, записывают так: $A\sim B$.
Часто используется и такая запись: $A\rightarrow B$, которая означает, что матрица $B$ получена из матрицы $A$ применением некоего элементарного преобразования.
При нахождении ранга методом Гаусса работать можно как со строками, так и со столбцами. Удобнее работать со строками, поэтому в примерах на этой странице преобразования выполняются именно над строками матриц.
Отмечу, что транспонирование не изменяет ранг матрицы, т.е. $\rang{A}=\rang{A^T}$. Этим свойством в некоторых случаях удобно пользоваться (см. пример №3), так как при необходимости строки легко сделать столбцами и наоборот.
Краткое описание алгоритма
Введём несколько терминов. Нулевая строка - строка, все элементы которой равны нулю. Ненулевая строка - строка, хоть один элемент которой отличен от нуля. Ведущим элементом ненулевой строки называется её первый (считая слева направо) отличный от нуля элемент. Например, в строке $(0;0;5;-9;0)$ ведущим будет третий элемент (он равен 5).
Ранг любой нулевой матрицы равен 0, поэтому станем рассматривать матрицы, отличные от нулевых. Конечная цель преобразований матрицы - сделать её ступенчатой . Ранг ступенчатой матрицы равен количеству ненулевых строк.
Рассматриваемый метод нахождения ранга матрицы состоит из нескольких шагов. На первом шаге используется первая строка, на втором шаге - вторая и так далее. Когда под той строкой, которую мы используем на текущем шаге, остаются лишь нулевые строки, или же не остаётся строк вовсе, то алгоритм прекращается, так как полученная матрица будет ступенчатой.
Теперь обратимся к тем преобразованиям над строками, которые выполняются на каждом шаге алгоритма. Пусть под текущей строкой, которую нам нужно использовать на данном шаге, имеются ненулевые строки, причём $k$ - номер ведущего элемента текущей строки, а $k_{\min}$ - наименьший из номеров ведущих элементов тех строк, которые лежат ниже текущей строки.
- Если $k\lt{k_{\min}}$, то переходим к следующему шагу алгоритма, т.е. к использованию следующей строки.
- Если $k=k_{\min}$, то производим обнуление ведущих элементов тех нижележащих строк, у которых номер ведущего элемента равен $k_{\min}$. Если появляются нулевые строки, то переносим их в низ матрицы. Затем переходим к следующему шагу алгоритма.
- Если $k\gt{k_{\min}}$, то меняем местами текущую строку с одной из тех нижележащих строк, у которых номер ведущего элемента равен $k_{\min}$. После этого производим обнуление ведущих элементов тех нижележащих строк, у которых номер ведущего элемента равен $k_{\min}$. Если таких строк нет, то переходим к следующему шагу алгоритма. Если появляются нулевые строки, то переносим их в низ матрицы.
Как конкретно происходит обнуление ведущих элементов, рассмотрим на практике. Буквами $r$ (от слова "row") станем обозначать строки: $r_1$ - первая строка, $r_2$ - вторая строка и так далее. Буквами $c$ (от слова "column") станем обозначать столбцы: $c_1$ - первый столбец, $c_2$ - второй столбец и так далее.
В примерах на данной странице буквой $k$ я стану обозначать номер ведущего элемента текущей строки, а запись $k_{\min}$ будет использована для обозначения наименьшего из номеров ведущих элементов строк, лежащих под текущей строкой.
Пример №1
Найти ранг матрицы $A=\left(\begin{array}{ccccc} -2 & 3 & 1 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 4 & -11 & -5 & 12 & 18 \\ -9 & 6 & 0 & -2 & 21 \\ -5 & 5 & 1 & 1 & 1 \end{array} \right)$.
Первый шаг
На первом шаге мы работаем с первой строкой. В первой строке заданной нам матрицы ведущим является первый элемент, т.е. номер ведущего элемента первой строки $k=1$. Посмотрим на строки, расположенные под первой строкой. Ведущие элементы в этих строках имеют номера 4, 1, 1 и 1. Наименьшим из этих номеров есть $k_{\min}=1$. Так как $k=k_{\min}$, то производим обнуление ведущих элементов тех нижележащих строк, у которых номер ведущего элемента равен $k_{\min}$. Иными словами, нужно обнулить ведущие элементы третьей, четвёртой и пятой строк.
В принципе, можно приступать к обнулению указанных выше элементов, однако для тех преобразований, которые выполняются для обнуления, удобно, когда ведущим элементом используемой строки является единица. Это не обязательно, но очень упрощает расчёты. У нас ведущим элементом первой строки есть число -2. Чтобы заменить "неудобное" число единицей (или числом (-1)) есть несколько вариантов. Можно, например, умножить первую строку на 2, а затем от первой строки вычесть пятую. А можно просто поменять местами первый и третий столбцы. После перестановки столбцов №1 и №3 получим новую матрицу, эквивалентную заданной матрице $A$:
$$ \left(\begin{array}{ccccc} -2 & 3 & 1 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 4 & -11 & -5 & 12 & 18 \\ -9 & 6 & 0 & -2 & 21 \\ -5 & 5 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right)\overset{c_1\leftrightarrow{c_3}}{\sim} \left(\begin{array}{ccccc} \boldred{1} & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ \normblue{-5} & -11 & 4 & 12 & 18 \\ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ \normgreen{1} & 5 & -5 & 1 & 1 \end{array}\right) $$
Ведущим элементом первой строки стала единица. Номер ведущего элемента первой строки не поменялся: $k=1$. Номера ведущих элементов строк, расположенных ниже первой, таковы: 4, 1, 2, 1. Наименьший номер $k_{\min}=1$. Так как $k=k_{\min}$, то производим обнуление ведущих элементов тех нижележащих строк, у которых номер ведущего элемента равен $k_{\min}$. Это значит, что нужно обнулить ведущие элементы третьей и пятой строк. Эти элементы выделены синим и зелёным цветами.
Чтобы обнулить нужные элементы, будем выполнять операции со строками матрицы. Запишу эти операции отдельно:
$$ \begin{aligned} &r_3-\frac{\normblue{-5}}{\boldred{1}}\cdot{r_1}=r_3+5r_1;\\ &r_5-\frac{\normgreen{1}}{\boldred{1}}\cdot{r_1}=r_5-r_1. \end{aligned} $$
Запись $r_3+5r_1$ означает, что к элементам третьей строки прибавили соответствующие элементы первой строки, умноженные на пять. Результат записывают на место третьей строки в новую матрицу. Если с устным выполнением такой операции возникают сложности, то это действие можно выполнить отдельно:
$$ r_3+5r_1 =(-5;\;-11;\;4;\;12;\;18)+5\cdot(1;\;3;\;-2;\;0;\;-4)=\\ =(-5;\;-11;\;4;\;12;\;18)+(5;\;15;\;-10;\;0;\;-20) =(0;\;4;\;-6;\;12;\;-2). $$
Действие $r_5-r_1$ выполняется аналогично. В результате преобразований строк получим такую матрицу:
$$ \left(\begin{array}{ccccc} 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ -5 & -11 & 4 & 12 & 18 \\ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 1 & 5 & -5 & 1 & 1 \end{array}\right) \begin{array} {l} \phantom{0}\\ \phantom{0}\\ r_3+5r_1 \\ \phantom{0} \\ r_5-r_1 \end{array}\sim \left(\begin{array}{ccccc} 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 4 & -6 & 12 & -2 \\ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \end{array}\right) $$
На этом первый шаг можно считать законченным. Так как под первой строкой остались ненулевые строки, то нужно продолжать работу. Единственный нюанс: в третьей строке полученной матрицы все элементы делятся нацело на 2. Чтобы уменьшить числа и упростить себе расчёты, умножим элементы третьей строки на $\frac{1}{2}$, а затем уже перейдём ко второму шагу:
$$ \left(\begin{array}{ccccc} 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 4 & -6 & 12 & -2 \\ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \end{array}\right) \begin{array} {l} \phantom{0}\\ \phantom{0}\\ 1/2\cdot{r_3} \\ \phantom{0} \\ \phantom{0} \end{array}\sim \left(\begin{array}{ccccc} 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 2 & -3 & 6 & -1 \\ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \end{array}\right) $$
Второй шаг
На втором шаге мы работаем с второй строкой. Во второй строке матрицы ведущим является четвёртый элемент, т.е. номер ведущего элемента второй строки $k=4$. Посмотрим на строки, расположенные под второй строкой. Ведущие элементы в этих строках имеют номера 2, 2 и 2. Наименьшим из этих номеров есть $k_{\min}=2$. Так как $k\gt{k_{\min}}$, то нужно поменять местами текущую вторую строку с одной из тех строк, у которых номер ведущего элемента равен $k_{\min}$. Иными словами, надо поменять вторую строку с третьей, четвёртой или пятой. Я выберу пятую строку (это позволит избежать появления дробей), т.е. поменяю местами пятую и вторую строки:
$$ \left(\begin{array}{ccccc} 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 2 & -3 & 6 & -1 \\ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \end{array}\right) \overset{r_2\leftrightarrow{r_5}}{\sim} \left(\begin{array}{ccccc} 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & \boldred{2} & -3 & 1 & 5 \\ 0 & \normblue{2} & -3 & 6 & -1 \\ 0 & \normgreen{6} & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \end{array}\right) $$
Опять обратимся ко второй строке. Теперь ведущим в ней является второй элемент (он выделен красным цветом), т.е. $k=2$. Наименьшим из номеров ведущих элементов нижележащих строк (т.е. из чисел 2, 2 и 4) будет $k_{\min}=2$. Так как $k=k_{\min}$, то производим обнуление ведущих элементов тех нижележащих строк, у которых номер ведущего элемента равен $k_{\min}$. Это значит, что нужно обнулить ведущие элементы третьей и четвёртой строк. Эти элементы выделены синим и зелёным цветами.
Отмечу, что на предыдущем шаге ведущим элементом текущей строки с помощью перестановки столбцов была сделана единица. Это было выполнено, чтобы избежать работы с дробями. Здесь тоже можно поставить единицу на место ведущего элемента второй строки: например, поменяв местами второй и четвёртый столбцы. Однако делать это мы не станем, так как дробей и так не возникнет. Действия со строками будут такими:
$$ \begin{aligned} &r_3-\frac{\normblue{2}}{\boldred{2}}\cdot{r_2}=r_3-r_2;\\ &r_4-\frac{\normgreen{6}}{\boldred{2}}\cdot{r_2}=r_4-3r_2. \end{aligned} $$
Выполняя указанные операции, придём к такой матрице:
$$ \left(\begin{array}{ccccc} 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \\ 0 & 2 & -3 & 6 & -1 \\ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \end{array}\right) \begin{array} {l} \phantom{0}\\ \phantom{0}\\ r_3-r_2 \\ r_4-3r_2 \\ \phantom{0} \end{array}\sim \left(\begin{array}{ccccc} 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & -5 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \end{array}\right) $$
Второй шаг закончен. Так как под второй строкой остались ненулевые строки, то переходим к третьему шагу.
Третий шаг
На третьем шаге мы работаем с третьей строкой. В третьей строке матрицы ведущим является четвёртый элемент, т.е. номер ведущего элемента третьей строки $k=4$. Посмотрим на строки, расположенные под третьей строкой. Ведущие элементы в этих строках имеют номера 4 и 4, наименьший из которых $k_{\min}=4$. Так как $k=k_{\min}$, то производим обнуление ведущих элементов тех нижележащих строк, у которых номер ведущего элемента равен $k_{\min}$. Это значит, что нужно обнулить ведущие элементы четвёртой и пятой строк. Преобразования, которые выполняются с этой целью, полностью аналогичны тем, что осуществлялись ранее:
$$ \left(\begin{array}{ccccc} 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & -5 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \end{array}\right) \begin{array} {l} \phantom{0}\\ \phantom{0}\\ \phantom{0} \\ r_4+r_3 \\ r_5-r_3 \end{array}\sim \left(\begin{array}{ccccc} 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) $$
Под третьей строкой остались лишь нулевые строки. Это значит, что преобразования закончены. Мы привели матрицу к ступенчатому виду. Так как приведённая матрица содержит три ненулевых строки, то её ранг равен 3. Следовательно, и ранг исходной матрицы равен трём, т.е. $\rang A=3$. Полное решение без пояснений таково:
$$ \left(\begin{array}{ccccc} -2 & 3 & 1 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 4 & -11 & -5 & 12 & 18 \\ -9 & 6 & 0 & -2 & 21 \\ -5 & 5 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right)\overset{c_1\leftrightarrow{c_3}}{\sim} \left(\begin{array}{ccccc} 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ -5 & -11 & 4 & 12 & 18 \\ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 1 & 5 & -5 & 1 & 1 \end{array}\right) \begin{array} {l} \phantom{0}\\ \phantom{0}\\ r_3+5r_1 \\ \phantom{0} \\ r_5-r_1 \end{array}\sim $$ $$ \sim\left(\begin{array}{ccccc} 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 4 & -6 & 12 & -2 \\ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \end{array}\right) \begin{array} {l} \phantom{0}\\ \phantom{0}\\ 1/2\cdot{r_3} \\ \phantom{0} \\ \phantom{0} \end{array}\sim \left(\begin{array}{ccccc} 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 2 & -3 & 6 & -1 \\ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \end{array}\right) \overset{r_2\leftrightarrow{r_5}}{\sim} \left(\begin{array}{ccccc} 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \\ 0 & 2 & -3 & 6 & -1 \\ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \end{array}\right) \begin{array} {l} \phantom{0}\\ \phantom{0}\\ r_3-r_2 \\ r_4-3r_2 \\ \phantom{0} \end{array}\sim $$ $$ \sim\left(\begin{array}{ccccc} 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & -5 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \end{array}\right) \begin{array} {l} \phantom{0}\\ \phantom{0}\\ \phantom{0} \\ r_4+r_3 \\ r_5-r_3 \end{array}\sim \left(\begin{array}{ccccc} 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) $$
Ответ : $\rang A=3$.
Пример №2
Найти ранг матрицы $A=\left(\begin{array}{ccccc} 11 & -13 & 61 & 10 & -11\\ 2 & -2 & 11 & 2 & -2\\ -3 & 5 & -17 & -2 & 3\\ 4 & 0 & 24 & 7 & -8 \end{array} \right)$.
Данная матрица не является нулевой, а значит её ранг больше нуля. Перейдём к первому шагу алгоритма.
Первый шаг
На первом шаге мы работаем с первой строкой. В первой строке заданной нам матрицы ведущим является первый элемент, т.е. номер ведущего элемента первой строки $k=1$. Посмотрим на строки, расположенные под первой строкой. Ведущие элементы в этих строках имеют номер 1, т.е. наименьший из номеров ведущих элементов нижележащих строк есть $k_{\min}=1$. Так как $k=k_{\min}$, то нужно произвести обнуление ведущих элементов тех нижележащих строк, у которых номер ведущего элемента равен $k_{\min}$. Иными словами, нужно обнулить ведущие элементы второй, третьей и четвёртой строк.
Для удобства расчётов сделаем так, чтобы ведущим элементом первой строки стала единица. В предыдущем примере для этого мы меняли местами столбцы, однако с этой матрицей такое действие не пройдёт - в данной матрице нет элементов, равных единице. Выполним одно вспомогательное действие: $r_1-5r_2$. Тогда ведущий элемент первой строки станет равен 1.
$$ \left(\begin{array}{ccccc} 11 & -13 & 61 & 10 & -11\\ 2 & -2 & 11 & 2 & -2\\ -3 & 5 & -17 & -2 & 3\\ 4 & 0 & 24 & 7 & -8 \end{array} \right) \begin{array} {l} r_1-5r_2\\ \phantom{0}\\ \phantom{0} \\ \phantom{0} \end{array}\sim \left(\begin{array}{ccccc} 1 & -3 & 6 & 0 & -1\\ 2 & -2 & 11 & 2 & -2\\ -3 & 5 & -17 & -2 & 3\\ 4 & 0 & 24 & 7 & -8 \end{array} \right) $$
Ведущим элементом первой строки стала единица. Обнулим ведущие элементы нижележащих строк:
$$ \left(\begin{array}{ccccc} 1 & -3 & 6 & 0 & -1\\ 2 & -2 & 11 & 2 & -2\\ -3 & 5 & -17 & -2 & 3\\ 4 & 0 & 24 & 7 & -8 \end{array} \right) \begin{array} {l} \phantom{0}\\ r_2-2r_1\\ r_3+3r_1 \\ r_4-4r_1 \end{array}\sim \left(\begin{array}{ccccc} 1 & -3 & 6 & 0 & -1\\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0\\ 0 & -4 & 1 & -2 & 0\\ 0 & 12 & 0 & 7 & -4 \end{array} \right) $$
Первый шаг закончен. Так как под первой строкой остались ненулевые строки, то нужно продолжать работу.
Второй шаг
На втором шаге работаем с второй строкой. Во второй строке матрицы ведущим является второй элемент, т.е. номер ведущего элемента второй строки $k=2$. Ведущие элементы в нижележащих строках имеют тот же номер 2, поэтому $k_{\min}=2$. Так как $k=k_{\min}$, то производим обнуление ведущих элементов тех нижележащих строк, у которых номер ведущего элемента равен $k_{\min}$. Это значит, что нужно обнулить ведущие элементы третьей и четвёртой строк.
$$ \left(\begin{array}{ccccc} 1 & -3 & 6 & 0 & -1\\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0\\ 0 & -4 & 1 & -2 & 0\\ 0 & 12 & 0 & 7 & -4 \end{array} \right) \begin{array} {l} \phantom{0}\\ \phantom{0}\\ r_3+r_2 \\ r_4-3r_2 \end{array}\sim \left(\begin{array}{ccccc} 1 & -3 & 6 & 0 & -1\\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 3 & 1 & -4 \end{array} \right) $$
Появилась нулевая строка. Опустим её в низ матрицы:
$$ \left(\begin{array}{ccccc} 1 & -3 & 6 & 0 & -1\\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 3 & 1 & -4 \end{array} \right) \overset{r_3\leftrightarrow{r_4}}{\sim} \left(\begin{array}{ccccc} 1 & -3 & 6 & 0 & -1\\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 3 & 1 & -4\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) $$
Второй шаг закончен. Заметьте, что мы уже получили ступенчатую матрицу. Впрочем, мы можем формально закончить наш алгоритм. Так как под второй строкой остались ненулевые строки, то следует перейти к третьему шагу и работать с третьей строкой, однако под третьей строкой ненулевых строк нет. Следовательно, преобразования завершены.
К слову, полученная нами матрица является трапециевидной . Трапециевидная матрица - это частный случай ступенчатой матрицы.
Так как данная матрица содержит три ненулевых строки, то её ранг равен 3. Следовательно, и ранг исходной матрицы равен трём, т.е. $\rang{A}=3$. Полное решение без пояснений таково:
$$ \left(\begin{array}{ccccc} 11 & -13 & 61 & 10 & -11\\ 2 & -2 & 11 & 2 & -2\\ -3 & 5 & -17 & -2 & 3\\ 4 & 0 & 24 & 7 & -8 \end{array} \right) \begin{array} {l} r_1-5r_2\\ \phantom{0}\\ \phantom{0} \\ \phantom{0} \end{array}\sim \left(\begin{array}{ccccc} 1 & -3 & 6 & 0 & -1\\ 2 & -2 & 11 & 2 & -2\\ -3 & 5 & -17 & -2 & 3\\ 4 & 0 & 24 & 7 & -8 \end{array} \right) \begin{array} {l} \phantom{0}\\ r_2-2r_1\\ r_3+3r_1 \\ r_4-4r_1 \end{array}\sim $$ $$ \left(\begin{array}{ccccc} 1 & -3 & 6 & 0 & -1\\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0\\ 0 & -4 & 1 & -2 & 0\\ 0 & 12 & 0 & 7 & -4 \end{array} \right) \begin{array} {l} \phantom{0}\\ \phantom{0}\\ r_3+r_2 \\ r_4-3r_2 \end{array}\sim \left(\begin{array}{ccccc} 1 & -3 & 6 & 0 & -1\\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 3 & 1 & -4 \end{array}\right)\overset{r_3\leftrightarrow{r_4}}{\sim} \left(\begin{array}{ccccc} 1 & -3 & 6 & 0 & -1\\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 3 & 1 & -4\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) $$
Ответ : $\rang A=3$.
Пример №3
Найти ранг матрицы $A=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 2 & -4 \\ -1 & -4 & 5 \\ 3 & 1 & 7 \\ 0 & 5 & -10 \\ 2 & 3 & 0 \end{array} \right)$.
Иногда в процессе решения удобно транспонировать матрицу. Так как ранг транспонированной матрицы равен рангу исходной матрицы, то такая операция вполне допустима. В этом примере будет рассмотрен как раз такой случай. В ходе преобразований возникнут две одинаковые строки $(0;\;1;\;-2)$ (первая и четвёртая). В принципе, можно выполнить действие $r_4-r_1$, тогда четвёртая строка обнулится, однако это лишь удлинит решение на одну запись, поэтому выполнять обнуление четвёртой строки не станем.
$$ \left(\begin{array}{ccc} 0 & 2 & -4 \\ -1 & -4 & 5 \\ 3 & 1 & 7 \\ 0 & 5 & -10 \\ 2 & 3 & 0 \end{array} \right) \begin{array} {l} 1/2\cdot{r_1}\\ \phantom{0}\\ \phantom{0} \\ 1/5\cdot{r_4} \\\phantom{0} \end{array}\sim \left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & -2 \\ -1 & -4 & 5 \\ 3 & 1 & 7 \\ 0 & 1 & -2 \\ 2 & 3 & 0 \end{array} \right)\sim $$ $$ \sim\left(\begin{array}{ccccc} 0&-1&3&0&2\\ 1&-4&1&1&3\\ -2&5&7&-2&0 \end{array} \right) \overset{r_1\leftrightarrow{r_2}}{\sim} \left(\begin{array}{ccccc} 1&-4&1&1&3\\ 0&-1&3&0&2\\ -2&5&7&-2&0 \end{array} \right) \begin{array} {l} \phantom{0}\\ \phantom{0}\\ r_3+2r_1 \end{array}\sim $$ $$ \left(\begin{array}{ccccc} 1&-4&1&1&3\\ 0&-1&3&0&2\\ 0&-3&9&0&6 \end{array} \right) \begin{array} {l} \phantom{0}\\ \phantom{0}\\ r_3-3r_2 \end{array}\sim \left(\begin{array}{ccccc} 1&-4&1&1&3\\ 0&-1&3&0&2\\ 0&0&0&0&0 \end{array} \right) $$
Ранг преобразованной матрицы равен 2, поэтому и ранг исходной матрицы $\rang{A}=2$. В принципе, можно было найти ранг и без транспонирования матрицы: поменять местами первую строку с второй, третьей или пятой и продолжить обычные преобразования со строками. Метод сведения матрицы к ступенчатому виду допускает вариации процесса решения.
Ответ : $\rang A=2$.
Пример №4
Найти ранг матрицы $A=\left(\begin{array}{cccccc} 0 & -1 & 2 & -4 & 0 & 5 \\ 0 & 0 &5 &0 &2 &3 \\ 0 & 0 & 10 & 0& -4&1 \end{array} \right)$.
Данная матрица не является нулевой, т.е. её ранг больше нуля. Перейдём к первому шагу алгоритма.
Первый шаг
На первом шаге мы работаем с первой строкой. В первой строке заданной нам матрицы ведущим является второй элемент, т.е. номер ведущего элемента первой строки $k=2$. Рассмотрим строки, расположенные под первой строкой. Ведущие элементы в этих строках имеют номер 3, т.е. наименьший из номеров ведущих элементов нижележащих строк есть $k_{\min}=3$. Так как $k\lt{k_{\min}}$, то переходим к следующему шагу алгоритма.
Второй шаг
На втором шаге мы работаем с второй строкой. Во второй строке ведущим является третий элемент, т.е. номер ведущего элемента второй строки $k=3$. Под второй строкой расположена лишь одна третья строка, номер ведущего элемента которой равен 3, поэтому $k_{\min}=3$. Так как $k=k_{\min}$, то производим обнуление ведущего элемента третьей строки:
$$ \left(\begin{array}{cccccc} 0 & -1 & 2 & -4 & 0 & 5 \\ 0 & 0 &5 &0 &2 &3 \\ 0 & 0 & 10 & 0& -4&1 \end{array} \right) \begin{array} {l} \phantom{0}\\ \phantom{0}\\ r_3-2r_2 \end{array}\sim \left(\begin{array}{cccccc} 0 & -1 & 2 & -4 & 0 & 5 \\ 0 & 0 &5 &0 &2 &3 \\ 0 & 0 & 0 & 0& -8&-5 \end{array} \right) $$
Получена ступенчатая матрица. Ранг преобразованной матрицы, а следовательно и ранг исходной матрицы, равен 3.
Ответ : $\rang A=3$.
Пример №5
Найти ранг матрицы $A=\left(\begin{array}{ccccc} 0&0&0&0&6\\ 9&0&0&0&-11\\ 5&2&0&0&-5. \end{array} \right)$.
Иногда можно свести матрицу к ступенчатой с помощью одних лишь перестановок строк или столбцов. Это бывает, разумеется, крайне редко, однако удачная перестановка позволяет существенно упростить решение.
$$ \left(\begin{array}{ccccc} 0&0&0&0&6\\ 9&0&0&0&-11\\ 5&2&0&0&-5 \end{array} \right) \overset{r_1\leftrightarrow{r_3}}{\sim} \left(\begin{array}{ccccc} 5&2&0&0&-5\\ 9&0&0&0&-11\\ 0&0&0&0&6 \end{array} \right) \overset{с_1\leftrightarrow{с_4}}{\sim} \left(\begin{array}{ccccc} 0&2&0&5&-5\\ 0&0&0&9&-11\\ 0&0&0&0&6 \end{array} \right) $$
Матрица приведена к ступенчатой, $\rang{A}=3$.
Ответ : $\rang A=3$.
